Question

【题目】已知正实数a，b满足：a+b=2．
（1）求 的最小值m；
（2）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+ |（t≠0），对于（Ⅰ）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=m成立，若存在，求出x的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵正实数a，b满足a+b=2．

∴ = （ ）（a+b）

= （2+ + ）≥ （2+2 ）=2，

当且仅当 = 即a=b=1时取等号，

∴ 的最小值m=2；

（2）由不等式的性质可得f（x）=|x﹣t|+|x+ |

≥|x﹣t﹣x﹣ |=|t+ |=2

当且仅当t=±1等号时成立，此时﹣1≤x≤1，

∴存在x∈[﹣1，1]使f（x）=m成立．

【解析】（1）由题意可得 = （ ）（a+b）= （2+ + ），由基本不等式可得；（2）由不等式的性质可得f（x）≥|x﹣t﹣x﹣ |=|t+ |=2，由基本不等式和不等式的性质可得．
【考点精析】利用基本不等式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：．