Question

【题目】已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值为10．
（1）求a+b+c的值；
（2）求 （a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c≤|b+a|+c，当且仅当x≥b时等号成立，

∵a＞0，b＞0，∴f（x）的最大值为a+b+c．

又已知f（x）的最大值为10，所以a+b+c=10．

（2）解：由（1）知a+b+c=10，由柯西不等式得[ （a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2]（22+12+12）≥（a+b+c﹣6）2=16，

即 （a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2≥

当且仅当 （a﹣1）=b﹣2=c﹣3，即a= ，b= ，c= 时等号成立．

【解析】（1）利用绝对值不等式，求出f（x）的最大值为a+b+c，即可求a+b+c的值；（2）利用柯西不等式，即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二维形式的柯西不等式的相关知识，掌握二维形式的柯西不等式：当且仅当时，等号成立．