Question

【题目】PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标． 某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；
（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；
（Ⅲ）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况，（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）记“从这15天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”为事件A，

则P（A）= = ；

（Ⅱ）依据条件，ξ服从超几何分布，其中N=15，M=5，n=3，

ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：

P（ξ=k）= ，其中k=0，1，2，3；

ξ	0	1	2	3
P

（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P= = ，

一年中空气质量达到一级的天数为η，则η～B（360， ）；

∴Eη=360× =120（天），

∴一年中平均有120天的空气质量达到一级．

【解析】（Ⅰ）用频率估计概率，求出“从这15天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”的概率；（Ⅱ）依据条件，ξ服从超几何分布，ξ的可能值为0，1，2，3，

且P（ξ=k）= ，写出分布列；（Ⅲ）依题意知一年中每天空气质量达到一级的概率P，

一年中空气质量达到一级的天数η，η～B（360， ），计算Eη即可．