Question

【题目】已知函数f（x）=sinx﹣xcosx（x≥0）．
（1）求函数f（x）的图象在 处的切线方程；
（2）若任意x∈[0，+∞），不等式f（x）＜ax3恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设m=f（x）dx， ，证明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=xsinx， ，

∴切线为 ；

（2）解：f（x）≤ax3sinx﹣xcosx﹣ax3≤0，

令g（x）=sinx﹣xcosx﹣ax3，

则g′（x）=xsinx﹣3ax2=x（sinx﹣3ax），

又令h（x）=sinx﹣3axh′（x）=cosx﹣3a，

①当3a≤﹣1，即 时，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）递增，

∴h（x）≥h（0）=0，∴g′（x）≥0，∴g（x）递增，

∴g（x）≥g（0）=0（不合题意）；

②当3a≥1即 时，h′（x）≤0h（x）递减，

∴h（x）≤h（0）=0，∴g′（x）≤0，∴g（x）递减

∴g（x）≤g（0）=0（符合题意）

③当﹣1＜3a＜1，即 时，

由h′（0）=1﹣3a＞0h′（π）=﹣1﹣3a＜0，

∴在（0，π）上，x0，使h′（x0）=0

且x∈（0，x0）时，h′（x）＞0g′（x）＞0，

∴g（x）递增，∴g（x）＞g（0）=0（不符合题意）

综上： ．

（3）解：

∴ ，由（1）知，当 时， ，∴g（x）≤x，

又令μ（x）=ln（1+x）﹣x，x＞0 ，

∴u（x）递减u（x）＜u（0）=0，

即ln（1+x）＜x在（0，+∞）上恒成立，

令 ，

∴原不等式 ，

∴左式 =右式

∴得证．

【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（ ）的值，求出切线方程即可；（2）令g（x）=sinx﹣xcosx﹣ax3，求出函数的导数，令h（x）=sinx﹣3ax，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可；（3）求出g（x）的解析式，求出ln（1+x）＜x在（0，+∞）上恒成立，令 ，累加即可．
【考点精析】利用函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．