Question

【题目】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，四边形ACDF是菱形，∠FAC=60°，AB∥DE，BC∥EF，AB=BC=3，AF=2 ．
（1）求证：平面ABC⊥平面ACDF；
（2）求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设O是AC中点，连结OF、OB、FC，

在△ABC中，AB=BC，∴OB⊥AC，

∵四边形ACDF是菱形，∠FAC=60°，

∴△FAC是等边三角形，∴OF⊥AC，

∴∠FOB是二面角F﹣AC﹣B的平面角，

在Rt△FAO中，AF=2 ，AO= AC= AF= ，

∴OF= = ，

又∵BF= ，∴OF2+OB2=BF2，

∴∠FOB=90°，

∴平面ABC⊥平面ACDF．

（2）解：由（1）知OB、OC、OF两两垂直，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OF为z轴，

建立空间直角坐标系，

则A（0，﹣ ，0），B（ ，0，0），C（0， ，0），F（0，0，3），

=（0， ，3）， =（0，2 ，0），

∵AB∥DE，AF∥CD，又AB平面CDE，AF平面CDE，

DE平面CDE，CD平面CDE，

∴AB∥平面CDE，AF∥平面CDE，

又AB∩AF=A，∴平面ABF∥平面CDE，

∵EF∥BC，∴B、C、E、F四点共面，

又平面ABF∩平面BCEF=BF，平面CDE∩平面BCEF=CE，

∴BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形，

∴ = =（﹣ ，0），

∴ =（﹣ ，3），

设平面AEF的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x= ，得 =（ ），

设平面ACE的法向量 =（a，b，c），

则 ，取a= ，得 =（ ），

设平面AEF与平面ACE所成的锐二面角为θ，

则cosθ= = ．

∴平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）设O是AC中点，连结OF、OB、FC，推导出OB⊥AC，OF⊥AC，则∠FOB是二面角F﹣AC﹣B的平面角，由此能证明平面ABC⊥平面ACDF．（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．