Question

已知在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）AB=AD=AA₁=1，且∠A₁AD=∠A₁AB=∠DAB=

π

3

，求AC₁的长；
（2）底面ABCD是菱形，∠A₁AD=∠A₁AB=∠DAB=θ，当

AA1

AB

为何值时，AC₁⊥面A₁BD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，过A₁作A₁O⊥平面AC，O为垂足，则O在∠BAD的角平分线，即AC上，从而在三角形A₁B₁C₁中，可求AC₁的长．
（2）首先得到C₁C⊥BD； 得到BD⊥平面AC₁，当

AA1

AB

为1时，平行六面体的六个面是全等的菱形．

解答： 解：（1）过A₁作A₁O⊥平面AC，O为垂足，
∵∠BAA₁=∠DA A₁，AB=AD，ABCD为菱形
∴O在∠BAD的角平分线，即AC上，
∵cos∠BAA₁=cos∠BAC•cos∠OAA₁，
∴cos∠OAA₁=

cos∠BAA1

cos∠BAC

=

1 2

3 2

=

3

3

，
连A₁C₁则AA₁C₁C为平行四边形，∴cos∠AA₁C₁=-

3

3

，
在三角形A₁B₁C₁中，A₁C₁²=A₁B₁²+C₁B₁²-2A₁B₁•C₁B₁cos∠A₁B₁C₁=3，
∴AC₁=

AA12+A1C12-2AA1•A1C1cosAA1C1

=

1+3-2× 3 ×(- 3 3 )

=

6

；
（2）连结A₁C₁、AC，AC和BD交于点O，连结C₁O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD
又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C是公共边，∴△C₁BC≌△C₁DC，∴C₁B=C₁D
∵DO=OB，∴C₁O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C₁O=O
∴BD⊥平面AC₁，又C₁C?平面AC₁，∴C₁C⊥BD；
∴BD⊥平面AC₁，∵A₁O_?平面AC₁，∴BD⊥A₁C，当

AA1

AB

为1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，
同理可证BC₁⊥A₁C，又∵BD∩BC₁=B，∴A₁C⊥平面C₁BD．

点评：本题以平行六面体为载体，考查余弦定理，线面垂直得判断；关键是利用条件∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁，进行合理转化，属于中档题．