Question

设二次函数f（x）=mx²+nx+t的图象过原点，g（x）=ax³+bx﹣3（x＞0），f（x），g（x）的导函数为f'（x），g'（x），且f'（0）=0，f'（﹣1）=﹣2，f（1）=g（1），f'（1）=g'（1）．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；
（3）是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得t=0，f'（x）=2mx+n，
则f'（0）=n=0，f'（﹣1）=﹣2m+n=﹣2，
从而n=0，m=1，
∴f（x）=x²，f'（x）=2x，g（x）=3ax²+b．
由f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），
得a+b﹣3=1，3a+b=2，
解得a=﹣1，b=5．
∴g（x）=﹣x³+5x﹣3（x＞0）．
（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=x³+x²﹣5x+3（x＞0），
求导数得F'（x）=3x²+2x﹣5=（x﹣1）（3x+5）．
∴F（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
从而F（x）的极小值为F（1）=0．
（3）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），
而函数f（x）在点（1，1）的切线方程为y=2x﹣1．
下面验证都成立即可．
由x²﹣2x+1≥0，得x²≥2x﹣1，知f（x）≥2x﹣1恒成立．
设h（x）=﹣x³+5x﹣3﹣（2x﹣1），即h（x）=﹣x³+3x﹣2（x＞0），
求导数得h'（x）=﹣3x²+3=﹣3（x﹣1）（x+1）（x＞0），
∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以h（x）=﹣x³+5x﹣3﹣（2x﹣1）的最大值为h（1）=0，
所以﹣x³+5x﹣3≤2x﹣1恒成立．
故存在这样的实常数k和m，且k=2，m=﹣1．