Question

已知二次函数和“伪二次函数” .
（Ⅰ）证明：只要，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数；
（Ⅱ）在同一函数图像上任意取不同两点A（），B（），线段AB中点为C（），记直线AB的斜率为k.
（1）对于二次函数，求证；
（2）对于“伪二次函数” ，是否有（1）同样的性质？证明你的结论。

Answer 1

（Ⅰ）恒成立，当时，（Ⅱ）恒成立，∵，由二次函数的性质，（Ⅱ）不可能恒成立，则函数不可能总为增函数.
（Ⅱ）；
（2）“伪二次函数” 不具有（1）的性质.

试题分析：（Ⅰ）定义域为，如果为增函数，则（Ⅰ）恒成立，当时，（Ⅱ）恒成立，∵，由二次函数的性质，（Ⅱ）不可能恒成立，则函数不可能总为增函数.        4分
（Ⅱ）（1）.
由      ∴，则          8分
（2）不妨设，对于“伪二次函数”：
（Ⅲ）
由(1)中（Ⅰ）(Ⅳ)
的性质,则,比较（Ⅲ）(Ⅳ)两式得 ,
即(Ⅴ)   令 (Ⅵ)
设,则
∴在(1, )上递增, ∴
∴(Ⅵ)式不可能成立, (Ⅴ)式不可能成立,
∴“伪二次函数” 不具有（1）的性质.           13分
点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。（I）中要对a的不同取值情况加以讨论，在解不等式取舍过程中易于出错。涉及不等式恒成立问题，转化成了研究函数的最值，通过构建a的不等式组，求得a的范围。理解“伪函数的概念”的解题的关键之一。