Question

已知四面体ABCD（图1），沿AB、AC、AD剪开，展成的平面图形正好是图2所示的直角梯形A₁A₂A₃D（梯形的顶点A₁、A₂、A₃重合于四面体的顶点A）。

   （I）证明：AB⊥CD；

   （II）当A₁D=10，A₁A₂=8时，求四面体ABCD的体积。

Answer 1

（I）证明：由图2，A₁A₂A₃D为直角梯形，

    得A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C。                                                               

    即图1中，AB⊥AC，AB⊥AD。                                                       

    又AC∩AD=A，∴AB⊥面ACD。

∵CD面ACD，∴AB⊥CD。                                                          

   （II）解：在图2中，作DE⊥A₂A₃于E，

∵A₁A₂=8，∴DE=8，

又∵A₁D=A₃D=10，

∴EA₃=6

∴A₂A₃=10+6=16。

而A₂C=A₃C，∴A₂C=8，即图1中AC=8，AD=10。

由A₁A₂=8，A₁B=A₂B，得图1中AB=4。                                           

                                                      

由（I）知，AB⊥面ACD，