Question

【题目】某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格．销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． （Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2 ， 若记商品在一个星期的获利为f（x）， 则依题意有f（x）=（30﹣x﹣9）（432+kx2）=（21﹣x）（432+kx2），
又由已知条件，24=k22 ， 于是有k=6，
所以f（x）=﹣6x3+126x2﹣432x+9072，x∈[0，30]．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有f'（x）=﹣18x2+252x﹣432=﹣18（x﹣2）（x﹣12）．

x	[0，2）	2	（2，12）	12	（12，30]
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	↘	极小	↗	极大	↘

∴当x=12时，f（x）达到极大值．
因为f（0）=9072，f（12）=11664；
所以定价为30﹣12=18元能使一个星期的商品销售利润最大
【解析】（Ⅰ）先设商品降价x元，写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低2元时，一星期多卖出24件”求出比例系数即可得一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中得到的函数，利用导数研究其极值，从而救是f（x）达到极大值．从而得出所以定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大．