Question

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b）（a，b∈R），函数f（x）的导函数f′（x）．
（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若b=0，不等式2xlnx≤f′（x）+4ax+1对于任意的正数x都成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若0＜a＜b，a+b＜2

3

，且函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，试证明：对于曲线上的点A（s，f（s）），B（t，f（t）），向量

OA

与

OB

不可能垂直（O为坐标原点）．

Answer 1

（Ⅰ）当a=b=1时，函数f（x）=x（x-1）²=x³-2x²+x，∴f'（x）=3x²-4x+1
由f′（x）＞0，即3x²-4x+1＞0，解得x＜

1

3

或x＞1
故函数f（x）的单调递增区间为(-∞，

1

3

)和（1，+∞）；
 （Ⅱ）依题意：当b=0时，f′（x）=3x²-2ax
由于不等式2xlnx≤f′（x）+4ax+1对于任意的正数x都成立，则a≥

2xlnx-3x2-1

2x

恒成立．
令h(x)=

2xlnx-3x2-1

2x

，则h′(x)=

2x-3x2-1

2x2

，
由h′（x）=0，得x=1，则函数h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
则h（x）在x=1处取得极大值，也是最大值，且最大值为h（1）=-2
由此可得a≥-2；
（Ⅲ）（反证法）假设

OA

与

OB

垂直，则

OA

•

OB

=(s，f(s))•(t，f(t))=st+f(s)f(t)=0
所以（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1，即[st-（s+t）a+a²]•[st-（s+t）b+b²]=-1
由函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，即s，t是方程3x²-2（a+b）x+ab=0的两个根，
所以s+t=

2

3

(a+b)，st=

ab

3

从而有（a²-ab）（b²-ab）=-9，即ab（a-b）²=9（0＜a＜b），
则(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12，
所以a+b≥2

3

，这与a+b＜2

3

矛盾，故

OA

与

OB

不可能垂直．