Question

已知函数f(x)=

A

2

-

A

2

cos2(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

)的图象过点（1，2），相邻两条对称轴间的距离为2，且f（x）的最大值为2．
（1）求φ；
（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2010）；
（3）若函数g（x）=f（x）-m-1在区间[1，4]上恰有一个零点，求m的范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数的周期求出ω的值，根据函数的最大值求出A的值，根据函数过点（1，2）及∅的范围求出∅的值．
（2）由（1）知f(x)=1-cos2(

π

4

x+

π

4

)且周期为4，2010=4×502+2，故 f（1）+f（2）+…+f（2010）=
f（1）+f（2）．
（3）由g(x)=f(x)-m-1=-cos(

π

2

x+

π

2

)-m=sin

π

2

x-m在区间[1，4]上恰有一个零点知：函数y=sin

π

2

x的
图象与直线恰有一个交点．在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象，结合图象可得m的取值范围．

解答：解：（1）∵

T

2

=2，T=4，ω＞0∴2ω=

2π

T

=

π

2

∴ω=

π

4

，由于f（x）的最大值为2且A＞0，
所以

A

2

+

A

2

=2，即A=2，得 f(x)=1-cos2(

π

4

x+φ)，又函数f（x）的图象过点（1，2）则cos2(

π

4

+φ)=-1∴sin2φ=1∴2φ=2kπ+

π

2

，φ=kπ+

π

4

∵0＜φ＜

π

2

∴φ=

π

4

．
（2）由（1）知f(x)=1-cos2(

π

4

x+

π

4

)且周期为4，2010=4×502+2，
∵f（1）=2，f（2）=1，f（3）=0，f（4）=1，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4，
故 f（1）+f（2）+…+f（2010）=502×4+f（1）+f（2）=2008+3=2011．
（3）由g(x)=f(x)-m-1=-cos(

π

2

x+

π

2

)-m=sin

π

2

x-m在区间[1，4]上恰有一个零点知：
函数y=sin

π

2

x的图象与直线y=m恰有一个交点．在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象（如图所示），
由图象可知 0＜m≤1或 m=-1，故m的取值范围是{m|0＜m≤1，或 m=-1}．

点评：本题考查三角函数的最值，函数的零点，三角函数的周期性和求法，体现了数形结合的数学思想，求出函数f（x） 的
解析式，是解题的突破口．