Question

【题目】如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD= ，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
（I）求证：MN∥平面ABCD；
（II）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值．

Answer 1

【答案】证明：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），
A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），
又∵M，N分别为B1C和D1D的中点，∴M（1， ，1），N（1，﹣2，1）．
由题意得 =（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，
=（0，﹣ ，0），
∵ =0，又∵直线MN平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（II） =（1，﹣2，2）， ，设 为平面ACD1的法向量，
则 ，不妨设z=1，得 =（0，1，1），
设 为平面ACB1的一个法向量， =（0，1，2），
则 ，不妨设z=1，得 =（0，﹣2，1），
∴cos＜ ＞= =﹣ ，于是sin＜ ＞= = ，
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥平面ABCD．（Ⅱ）求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)．