Question

16、如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列四个命题：
①P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成角的大小不变；
③P在直线BC₁上运动时，二面角P-AD₁-C的大小不变；
④M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则M点的轨迹是过D₁点的直线，其中真命题的编号是

①③④

．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析：①易知BC₁∥平面AD₁C，所以BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离相等，底不变，所以体积不变．
②通过举例说明，如直线AB与平面ACD₁所成角和直线AC₁与平面ACD₁所成角不相等．
③P在直线BC₁上运动时，可知AP的轨迹是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影响．
④M在平面A₁B₁C₁D₁内，而点D和C₁距不在平面A₁B₁C₁D₁内，且距离相等，则点M的轨迹是一条与直线DC₁平行的直线．而DD₁=D₁C₁，所以必过D₁点．

解答：解：①∵BC₁∥平面AD₁，∴BC₁∥上任意一点到平面AD₁C的距离相等，所以体积不变，正确．
②P在直线BC₁上运动时，直线AB与平面ACD₁所成角和直线AC₁与平面ACD₁所成角不相等，所以不正确．
③当P在直线BC₁上运动时，AP的轨迹是平面PAD₁，即二面角P-AD₁-C的大小不受影响，所以正确．
④∵M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，∴M点的轨迹是一条与直线DC₁平行的直线，而DD₁=D₁C₁，所以正确．
故答案为：①③④

点评：本题主要考查三棱锥体积的转化，线面角，二面角以及点的轨迹问题，考查全面，灵活，是一道好题．