Question

11．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（Ⅰ）求直线BF的斜率．
（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．
（i）求λ的值．
（ii）若|PM|sin∠BQP=$\frac{7\sqrt{5}}{9}$，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$、a²=b²+c²、B（0，b），计算即得结论；
（Ⅱ）设点P（x_P，y_P），Q（x_Q，y_Q），M（x_M，y_M）．（i）通过（I），联立直线BF与椭圆方程，利用韦达定理可得x_P=-$\frac{5c}{3}$，利用BQ⊥BP，联立直线BQ与椭圆方程，通过韦达定理得x_Q=$\frac{40c}{21}$，计算即得结论；（ii）通过$\frac{|PM|}{|MQ|}$=$\frac{7}{8}$可得|PQ|=$\frac{15}{7}$|PM|，利用|PM|sin∠BQP=$\frac{7\sqrt{5}}{9}$，可得|BP|=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，通过y_P=2x_P+2c=-$\frac{4}{3}$c计算可得c=1，进而可得结论．

解答 解：（Ⅰ）设左焦点F（-c，0），
∵离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，a²=b²+c²，∴a=$\sqrt{5}$c，b=2c，
又∵B（0，b），∴直线BF的斜率k=$\frac{b-0}{0-（-c）}$=$\frac{2c}{c}$=2；
（Ⅱ）设点P（x_P，y_P），Q（x_Q，y_Q），M（x_M，y_M）．
（i）由（I）知a=$\sqrt{5}$c，b=2c，k_BF=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{5{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4{c}^{2}}$=1，直线BF方程为y=2x+2c，
联立直线BF与椭圆方程，消去y并整理得：3x²+5cx=0，解得x_P=-$\frac{5c}{3}$，
∵BQ⊥BP，∴直线BQ的方程为：y=-$\frac{1}{2}$x+2c，
联立直线BQ与椭圆方程，消去y并整理得：21x²-40cx=0，解得x_Q=$\frac{40c}{21}$，
又∵λ=$\frac{|PM|}{|MQ|}$，及x_M=0，∴λ=$\frac{|{x}_{M}-{x}_{P}|}{|{x}_{Q}-{x}_{M}|}$=$\frac{|{x}_{P}|}{|{x}_{Q}|}$=$\frac{7}{8}$；
（ii）∵$\frac{|PM|}{|MQ|}$=$\frac{7}{8}$，∴$\frac{|PM|}{|PM|+|MQ|}$=$\frac{7}{7+8}$=$\frac{7}{15}$，即|PQ|=$\frac{15}{7}$|PM|，
又∵|PM|sin∠BQP=$\frac{7\sqrt{5}}{9}$，∴|BP|=|PQ|sin∠BQP=$\frac{15}{7}$|PM|sin∠BQP=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
又∵y_P=2x_P+2c=-$\frac{4}{3}$c，∴|BP|=$\sqrt{（0+\frac{5c}{3}）^{2}+（2c+\frac{4c}{3}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$c，
因此$\frac{5\sqrt{5}}{3}$=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$c，即c=1，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．