Question

10．已知：等差数列{a_n}中，a₃+a₄=15，a₂a₅=54，公差d＜0，前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求$\frac{{S}_{n}-{a}_{n}}{n}$的最大值及相应的n的值；
（3）求数列{|a_n|}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a₂+a₅=a₃+a₄=15及a₂a₅=54，公差d＜0，计算即可；
（2）利用基本不等式即得结论；
（3）分n＞11及n≤11两种情况讨论即可．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为等差数列，a₃+a₄=15，
∴a₂+a₅=a₃+a₄=15，
又∵a₂a₅=54，公差d＜0，
∴a₂=9，a₅=6，
∴d=-1，a₁=10，
∴a_n=11-n；
（2）由（1）知S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=-$\frac{1}{2}$n²+$\frac{21}{2}n$，
∴$\frac{{S}_{n}-{a}_{n}}{n}$=$\frac{-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{21}{2}n-11+n}{n}$=-$\frac{1}{2}$（n+$\frac{22}{n}$-23），
∵n+$\frac{22}{n}$≥2$\sqrt{n×\frac{22}{n}}$=2$\sqrt{22}$，
当且仅当n=$\sqrt{22}$时等号成立，
∴当且仅当n=$\sqrt{22}$时，$\frac{{S}_{n}-{a}_{n}}{n}$取最大值，
∵$\frac{{S}_{4}-{a}_{4}}{4}$=-$\frac{1}{2}$（4+$\frac{22}{4}$-23）=6.75，
$\frac{{S}_{5}-{a}_{5}}{5}$=-$\frac{1}{2}$（5+$\frac{22}{5}$-23）=6.8，
∴$\frac{{S}_{n}-{a}_{n}}{n}$的最大值为6.8，此时n=5；
（3）∵a_n=11-n，
∴当n≤11时，a_n为非负数，
即T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10n-\frac{{n}^{2}-n}{2}，}&{n≤11}\\{n-11+\frac{（n-11）（n-12）}{2}+55，}&{n＞11}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{21n-{n}^{2}}{2}，}&{n≤11}\\{\frac{{n}^{2}-21n+220}{2}，}&{n＞11}\end{array}\right.$．

点评 本题考查求数列的通项、最值及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．