Question

19．要设计一个隧道，在隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成（如图所示），若车道总宽度AB为6m，通过车辆（设为平顶）限高3.5米，且车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度只差至少为0.5m，则隧道的拱宽CD至少应设计为（精确到0.1m．）（　　）参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732．

• A． 8.9m
• B． 8.5m
• C． 8.2m
• D． 7.9m

Answer 1

分析 先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度即可得到结论．

解答 解：取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，C（a，-4），
设抛物线方程x²=-2py（p＞0），将点C代入抛物线方程得p=$\frac{1}{8}$a²，
∴抛物线方程为x²=-$\frac{1}{4}$a²y，
行车道总宽度AB=6m，
∴将x=3代入抛物线方程，y=-$\frac{36}{{a}^{2}}$，
∴限度为6-$\frac{36}{{a}^{2}}$-0.5=3.5m，
∴a=3$\sqrt{2}$≈4.242
则隧道的拱宽CD至少应设计为8.484≈8.5m，
故选：B．

点评 本题主要抛物线的应用问题时，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．