Question

7．已知△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，则“ab＞c²”是“∠C＜$\frac{π}{3}$”的充分非必要条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）．

Answer 1

分析 由充分必要条件的定义和三角形的余弦定理，结合基本不等式，即可得到结论．

解答 解：由ab＞c²可得a²+b²≥2ab＞2c²，
即有cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$≥1-$\frac{{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{1}{2}$，
由C为三角形的内角，
则有0＜C＜$\frac{π}{3}$；
由∠C＜$\frac{π}{3}$，则cosC＞$\frac{1}{2}$，
由余弦定理可得$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{1}{2}$，
（a-b）²-c²＞-ab，
即为c²-ab＜（a-b）²，
则推不出c²-ab＜0，
即有“ab＞c²”是“∠C＜$\frac{π}{3}$”的充分非必要条件．
故答案为：充分非必要．

点评 本题考查解三角形的余弦定理，同时考查充分必要条件的判断，属于基础题．