Question

17．（1）已知2${\;}^{{x}^{2}+x}$＜（$\frac{1}{4}$）^x-2，求函数y=2^-x的值域．
（2）已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，0），求＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞

Answer 1

分析 （1）运用指数函数的单调性，解不等式可得-4＜x＜1，再由指数函数的单调性，即可得到所求值域；
（2）运用平面向量的数量积的坐标表示和斜率的模的公式，计算即可得到所求夹角．

解答 解：（1）不等式2${\;}^{{x}^{2}+x}$＜（$\frac{1}{4}$）^x-2，
即为${2}^{{x}^{2}+x}$＜2^4-2x，
即有x²+x＜4-2x，
解得-4＜x＜1，
即有-1＜-x＜4，
则函数y=2^-x的值域为（$\frac{1}{2}$，16）；
（2）由$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，0），
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}×\sqrt{3}$+1×0=3，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3+1}$=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，
则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤π，
则＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查指数函数的单调性的运用：解不等式和求值域，同时考查平面向量的数量积的坐标表示和夹角的求法，属于中档题．