Question

8．如图，已知抛物线C₁：y=$\frac{1}{4}$x²，圆C₂：x²+（y-1）²=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C₁和圆C₂相切，A，B为切点．
（Ⅰ）求点A，B的坐标；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．

Answer 1

分析 （I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x-t）（k≠0），与抛物线方程联立化为x²-4kx+4kt=0，利用△=0，解得k=t，可得A坐标．圆C₂的圆心D（0，1），设B（x₀，y₀），由题意可知：点B与O关于直线PD对称，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{2}=-\frac{{x}_{0}}{2t}+1}\\{{x}_{0}t-{y}_{0}=0}\end{array}\right.$，解得B坐标．
（II）由（I）可得：（t²-1）x-2ty+2t=0，可得点P到直线AB的距离d，又|AB|=$\sqrt{（\frac{2t}{1+{t}^{2}}-2t）^{2}+（\frac{2{t}^{2}}{1+{t}^{2}}-{t}^{2}）^{2}}$．即可得出S_△PAB=$\frac{1}{2}|AB|•d$．

解答 解：（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x-t）（k≠0），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=k（x-t）}\end{array}\right.$，
化为x²-4kx+4kt=0，
∵△=16k²-16kt=0，解得k=t，
∴x=2t，∴A（2t，t²）．
圆C₂的圆心D（0，1），设B（x₀，y₀），由题意可知：点B与O关于直线PD对称，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{2}=-\frac{{x}_{0}}{2t}+1}\\{{x}_{0}t-{y}_{0}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{2t}{1+{t}^{2}}}\\{{y}_{0}=\frac{2{t}^{2}}{1+{t}^{2}}}\end{array}\right.$．
∴B$（\frac{2t}{1+{t}^{2}}，\frac{2{t}^{2}}{1+{t}^{2}}）$．
（II）由（I）可得：k_AB=$\frac{\frac{2{t}^{2}}{1+{t}^{2}}-{t}^{2}}{\frac{2t}{1+{t}^{2}}-2t}$=$\frac{{t}^{2}-1}{2t}$，直线AB的方程为：y-t²=$\frac{{t}^{2}-1}{2t}（x-2t）$，化为（t²-1）x-2ty+2t=0，
∴点P到直线AB的距离d=$\frac{|（{t}^{2}-1）t+2t|}{\sqrt{（{t}^{2}-1）^{2}+（-2t）^{2}}}$=$\frac{{t}^{3}+t}{{t}^{2}+1}$=t，
又|AB|=$\sqrt{（\frac{2t}{1+{t}^{2}}-2t）^{2}+（\frac{2{t}^{2}}{1+{t}^{2}}-{t}^{2}）^{2}}$=t²．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}{t}^{3}$．

点评 本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．