Question

（2012•河西区一模）设定义域为r的函数f（x）=

|lgx|        x＞0 -x2-2x      x≤0

，若关于x的函数y=2f²（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是（　　）

• A．-

  3

  2

  ＜b＜

  2

• B．-

  3

  2

  ＜b＜-

  2

• C．-2＜b＜-

  2

• D．-

  3

  2

  ＜b＜-

  2

  或b＞

  2

Answer 1

分析：先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．同时在结合函数f（x）的图象，确定b的取值范围．

解答：解：令t=f（x），则原函数等价为y=2t²+2bt+1．做出函数f（x）的图象如图：，
图象可知当由0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个交点．
所以要使关于x的函数y=2f²（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则函数y=2t²+2bt+1有两个根t₁，t₂，
且0＜t₁＜1，0＜t₂＜1．
令g（t）=2t²+2bt+1，则由根的分布可得

△＞0 g(0)＞0 g(1)＞0 0＜- 2b 2×2 ＜1

，即

△=4b2-8＞0 g(0)=1＞0 g(1)=2b+3＞0 -2＜b＜0

，
解得

b＞ 2 或b＜- 2 b＞- 3 2 -2＜b＜0

，即-

3

2

＜b＜-

2

，所以实数b的取值范围是-

3

2

＜b＜-

2

．
故选B．

点评：本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键．