Question

已知函数f（x）=x³-3a|x-1|（a∈R）
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在区间x∈[0，]上的最值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x³-6|x-1|=，
∴，
令f′（x）＞0，得x＜1或，
令f′（x）＜0，得．
∵，
∴f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，在上单调递增．
∵f（0）=-6，，
∴f（x）_min=-6．
∵f（1）=1-6+6=1，f（）==6-3＜1，
∴f（x）_max=1．
（2）∵f（x）=x³-3a|x-1|=，
∴，
分类讨论如下：
①当a=0时，∵f′（x）=3x²≥0，
∴f（x）在实数集R上单调递增；
②当a＞0时，
（i）当x＜1时，f′（x）=3x²+3a＞0，∴f（x）在（-∞，1）上递增；
（ii）当x≥1时．令f′（x）=0，得或（舍），比较与1的大小，再分类如下：
当0＜a≤1时，∵f′（x）=3x²-3a≥0，∴f（x）在（1，+∞）上递增；
当a＞1时，由f′（x）=3x²-3a＜0，得1＜x＜；由f′（x）=3x²-3a≥0，得，
∴f（x）在（1，）递减，在上递增．
③当a＜0时，
此时，当x≥1时，f′（x）=3x²-3a≥0，∴f（x）在（1，+∞）上递增；
当x＜1时，令f′（x）=0，得或，
比较与1的大小，再分类讨论如下：
（i）当，即-1＜a＜0时，
由f′（x）=3x²+3a＞0，得，
由f′（x）＜0，得，
∴f（x）在和上单调递增，在上单调递减；
（ii）当，即a≤-1时，
由f′（x）=3x²+3a＞0，得，
由f′（x）＜0，得，
∴f（x）在上单调递增，在上单调递减．
综上所述：
当a＞1时，f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（）递减，在上递增；
当0≤a＜1时，f（x）在R上单调递增；
当-1＜a＜0时，f（x）在（）上单调递增，在单调递减，在（）单调递增；
当a≤-1时，f（x）在上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增．
分析：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x³-6|x-1|=，，令f′（x）＞0，得x＜1或，令f′（x）＜0，得．结合，能求出f（x）在区间x∈[0，]上的最值．
（2）由f（x）=x³-3a|x-1|=，知，分类讨论能求出函数f（x）的单调区间．
点评：本题考查函数最值的求法和函数的单调区间的讨论．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．易错点是分类不清导致出错．