Question

给定双曲线x²-=1,过B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于Q₁、Q₂,且B为线段Q₁Q₂的中点?这样的直线m如果存在,求出它的方程;如果不存在,请说明理由.

Answer 1

当x₁≠x₂时,==2,

这时直线m的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.

当x₁=x₂时,符合题意的直线不存在.

将y=2x-1代入双曲线方程2x²-4x-3=0,而该方程无实数解.

综上,知满足题设条件的直线不存在.

解析:

设Q₁、Q₂的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂),则

①-②得2(x₁+x₂)(x₁-x₂)-(y₁+y₂)(y₁-y₂)=0,

∵x₁+x₂=2,y₁+y₂=2,

∴4(x₁-x₂)-2(y₁-y₂)=0.

当x₁≠x₂时,==2,

这时直线m的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.

当x₁=x₂时,符合题意的直线不存在.

将y=2x-1代入双曲线方程2x²-4x-3=0,而该方程无实数解.

综上,知满足题设条件的直线不存在.