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将如图1的直角梯形ABEF(图中数字表示对应线段的长度)沿直线CD折成直二面角,连接部分线段后围成一个空间几何体,如图2所示.
(I)证明:直线BE∥平面ADF;
(II)求面FBE与面ABCD所成角的正切值.
分析:(I)取DF的中点为G,连接AG,EG,故GE
.
.
CD
.
.
AB,所以四边形ABEG为平行四边形,由此能够证明BE∥平面ADF.
(II)延长FE与DC交于H,连接BH,则BH是平面FBE与平面ABCD的交线,由∠FDC=
π
2
,且F-DC-A为直二面角,知FD⊥平面ABCD,故FD⊥BH,又CE
.
.
1
2
FD
,所以在Rt△BCH中,∠CBH=
π
4
,由此能够求出平面FBE与平面ABCD所成角的正切值.
解答:(I)证明:取DF的中点为G,连接AG,EG,
∴GE
.
.
CD
.
.
AB,
∴四边形ABEG为平行四边形,
∴BE∥AG,
∵AG?平面ADF,BE?平面ADF,
∴BE∥平面ADF.
(II)解:延长FE与DC交于H,连接BH,
则BH是平面FBE与平面ABCD的交线,
∵∠FDC=
π
2
,且F-DC-A为直二面角,
∴FD⊥平面ABCD,
∴FD⊥BH,
又CE
.
.
1
2
FD

∴DC=CH,
∴BC=CH,
∴在Rt△BCH中,∠CBH=
π
4

∴BH⊥BD,
∴BH⊥平面BDF.
∴∠DBF就是二面角F-BH-A的平面角,
在Rt△BDF中,∠BDF=
π
2
,DF=2,BD=
2

∴tan∠DBF=
DF
BD
=
2
2
=
2

∴平面FBE与平面ABCD所成角的正切值为
2
点评:本题考查直线与平面平行的证明,考查平面与平面所成角的正切值的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地化立体问题为平面问题.
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精英家教网如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=BC=1,AB=2,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折至△A′DE,使二面角A′-DE-B为直二面角.
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(2)求二面角D-A′B-C度数的余弦值

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精英家教网如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+
2
,过A作AE⊥CD,垂足为E.G、F分别为AD、CE的中点,现将△ADE沿AE折叠,使二面角D-AE-C的平面角为135°.
(Ⅰ)求证:FG∥平面BCD; 
(Ⅱ)求异面直线GF与BD所成角的余弦值; 
(Ⅲ)求二面角A-BD-C的大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥CD,AD=2BC=2CD=4,E为AD的中点,将△ABE沿BE折起,使二面角A-BE-C是直二面角,并连接AC,AD得到四棱锥A-BCDE,如图2.
(1)求四棱锥A-BCDE的体积;
(2)若M,N分别是BC,AD的中点,求证:MN∥平面ABE.

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