Question

如图，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2．点E、F分别是PC、BD的中点，现将△PDC沿CD折起，使PD⊥平面ABCD，
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）连接AC，由底面ABCD是正方形，知AC交BD于点F，且F是AC中点，由点E为PC中点，知EF∥PA，由此能够证明EF∥平面PAD．
（2）设点A到平面PBC的距离为h，由V_A-PBC=V_P-ABC，利用等积法能够求出点A到平面PBC的距离．

解答：解：（1）连接AC，∵底面ABCD是正方形，∴AC交BD于点F，且F是AC中点，
又点E为PC中点，∴EF∥PA，EF?平面PAD，PA?平面PAD∴EF∥平面PAD．
（2）设点A到平面PBC的距离为h．∵PD⊥底面ABCD，∴PDBBC，
又DCaBC，DCbPC=D，∴BC⊥面PDC，∴BC⊥PC．
又由PD⊥DC，PD=DC=2，得PC=

2

，∴S△PBC=

1

2

•PC•BC=

1

2

•2

2

•2=2

2

从而VA-PBC=

1

3

•S△PBC•h=

2 2

3

h．
另一方面，∵PD⊥底面ABCD，AB⊥BC，且PD=AB=BC=2，
∴V_P-ABC=

1

3

•S△ABC•PD=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

，
∵V_A-PBC=V_P-ABC，∴

2 2

3

h=

4

3

，解得h=

2

，
∴点A到平面PBC的距离为

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面距离的求法，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．