Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD=1，AB=3，动点P在BCD内运动（含边界），设

AP

=α

AD

+β

AB

，则α+β的最大值是（　　）

• A．2
• B．

  1

  2

• C．

  3

  4

• D．

  4

  3

Answer 1

分析：方法一：如图所示，作EF∥AB分别交BD、BC于点E、F，可知以下事实：当点P在EF上从左到右取点时，α不变而β增大，因此α+β的最大值只能在线段BC上取得．设

BP

=λ

BC

，（0≤λ≤1），利用共线定理即可得出点P的坐标，即可得出α+β的最大值．
方法二：由题意正确得出点P（x，y）所满足的约束条件，利用

AP

=α

AD

+β

AB

=α

j

+3β

i

=（3β，α）进行坐标变换得出α、β满足的约束条件，利用平移直线的方法找出α+β=t在α轴的最大截距即可．

解答：解：方法一：如图所示：作EF∥AB分别交BD、BC于点E、F．
当点P在EF上从左到右取点时，α不变而β增大，因此α+β的最大值只能在线段BC上
取得．
设

BP

=λ

BC

，（0≤λ≤1）．
∵B（1，0），C（

1

3

，1），A（0，0）．
∴

BC

=(-

2

3

，1)，∴

AP

-

AB

=λ(-

2

3

，1)．
∴

AP

=(1-

2

3

λ，λ)，又

AP

=α

AD

+β

AB

．
∴α+β=1-

2

3

λ+λ=1+

1

3

λ≤1+

1

3

×1=

4

3

．
当且仅当λ=1时取等号，即点P取点C时，α+β取得最大值

4

3

．
故选D．
方法二：如图所示，
在图1中，设P（x，y）．
B（3，0），D（0，1），C（1，1）．
可得直线BD的方程：

x

3

+y=1．
CD的方程：y=1．
BC的方程：y=

1-0

1-3

(x-3)即x+2y-3=0．
则点P满足的约束条件为

x+3y-3≥0 0≤y≤1 x+2y-3≤0

．
∵

AP

=α

AD

+β

AB

=α

j

+3β

i

=（3β，α），
∴

x=3β y=α

．代入点P满足的约束条件得

β+α-1≥0 0≤α≤1 3β+2α-3≤0

如图2所示可行域．
令α+β=t，
则α=-β+t，
作直线α=-β，并将其平移，可看到经过点E时，t取得最大值，且t=

1

3

+1=

4

3

．
故选D．

点评：熟练掌握共线定理，或把问题点P（x，y）满足的约束条件正确转化为（β，α）满足的约束条件、平移直线α=-β找出最大截距t是解题的关键．