Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=

2

a．
（Ⅰ）求证：平面SAB⊥平面SAD；
（Ⅱ）设SB的中点为M，且DM⊥MC，试求出四棱锥S-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（I）由已知中，∠A=∠D=90°SD⊥平面ABCD，我们易得AB⊥AD，SD⊥AB，由线面垂直的判定定理，可得AB⊥平面SAD，再由面面垂直的判定定理，可得平面SAB⊥平面SAD；
（II）连接BD，∵∠A=∠D=90°，AB=AD=a，SD=

2

a，我们可得△DBA为等腰直角三角形，结合SB的中点为M，且DM⊥MC，我们易得四棱锥S-ABCD的高为SD，分别求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵∠A=90°，∴AB⊥AD
又SD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴SD⊥AB
∴AB⊥平面SAD．
又AB?平面SAB，
∴平面SAB⊥平面SAD．
（Ⅱ）连接BD，∵∠A=∠D=90°，AB=AD=a，
∴BD=

2

a=SD
∴∠DBA=45°
又M为SB中点，
∴DM⊥SB
由条件DM⊥MC，MC∩SB=M，∴DM⊥面SBC，又BC?面SBC，
则DM⊥BC，由（1）可知SD⊥BC，SD∩DM=D，∴BC⊥面SDB，则BC⊥BD，
由平面几何知识，则△BDC是等腰直角三角形，
则DC=

2

DB=2a，
故VS-ABCD=

1

3

SABCD•SD=

1

3

(

a+2a

2

)•a.

2

•a=

2

2

a3

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．