Question

2．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，F是侧面BCC₁B₁内（包括边）的动点，且A₁F∥平面D₁AE，沿A₁F运动，将B₁点所在的几何体削去，则剩余几何体的体积为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{7}{8}$
• C． $\frac{11}{12}$
• D． $\frac{23}{24}$

Answer 1

分析 分别取B₁B、B₁C₁的中点M、N，连接AM、MN、AN，证明平面A₁MN∥平面D₁AE，可得点F的轨迹是线段MN，即可求出剩余几何体的体积．

解答 解：分别取B₁B、B₁C₁的中点M、N，连接AM、MN、AN，则
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，∴A₁M∥平面D₁AE．
同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN内的相交直线，∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此结合A₁F∥平面D₁AE，可得直线A₁F?平面A₁MN，即点F的轨迹是线段MN，
∴${V}_{{B}_{1}-AMN}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{24}$，
∴将B₁点所在的几何体削去，剩余几何体的体积为1-$\frac{1}{24}$=$\frac{23}{24}$，
故选：D．

点评 本题考查了空间直线与平面平行关系的判定与性质，考查棱锥的体积公式，综合性较强，正确的作出图形是关键．