Question

11．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点，AB=2，$A{A_1}=AC=BC=\sqrt{2}$
（1）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求异面直线BC₁和A₁D所成角的大小；
（3）求三棱锥A₁-DEC的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理，需在平面A₁DE内找一条与BC₁平行的直线．因为ACC₁A₁是矩形，故对角线互相平分，所以连结AC₁，与A₁C交于点O．因为D是AB的中点，连结OD，则OD是△ABC₁的中位线，所以BC₁∥OD，从而可证得BC₁∥平面A₁CD．
（2）由（1）可得∠A₁DF或其补角为异面直线BC₁和A₁D所成角，在△A₁DF中，由余弦定理可得异面直线BC₁和A₁D所成角的大小；
（3）先求出CD⊥平面ABB₁A₁，CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=1，利用体积公式求出三棱锥A₁-CDE的体积．

解答 （1）证明：连接AC₁与A₁C相交于点F，连接DF，
由矩形ACC₁A₁可得点F是AC₁的中点，又D是AB的中点，
∴DF∥BC₁，
∵BC₁?平面A₁CD，DF?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD；                      …（4分）
（2）解：由（1）可得∠A₁DF或其补角为异面直线BC₁和A₁D所成角．
DF=$\frac{1}{2}$BC₁=$\frac{1}{2}\sqrt{2+2}$=1，A₁D=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，A₁F=$\frac{1}{2}$A₁C=1．
在△A₁DF中，由余弦定理可得：cos∠A₁DF=$\frac{1+3-1}{2×1×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠A₁DF∈（0，π），∴∠A₁DF=$\frac{π}{6}$，
∴异面直线BC₁和A₁D所成角的大小；…（8分）
（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，
∵平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB₁A₁，CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=1．
∴${S}_{△{A}_{1}DE}$=${S}_{矩形AB{B}_{1}{A}_{1}}$-S_△BDE-${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}$-${S}_{△A{A}_{1}D}$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$
∴三棱锥C-A₁DE的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{{3\sqrt{2}}}{4}×1=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线BC₁和A₁D所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用．