Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=-

1

9

，其中C为锐角．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）当a=2，2sinC=

5

sinA时，求b及c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式求出sin²C的值，由C为锐角，得到sinC大于0，开方即可求出sinC的值；
（Ⅱ）由已知等式表示出sinA，根据a，sinA，利用正弦定理求出c的值，再由sinC及C为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosC的值，由a，c及cosC的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵cos2C=1-2sin²C=-

1

9

，
∴sin²C=

5

9

，
∴C为锐角，
∴sinC=

5

3

；
（Ⅱ）由2sinC=

5

sinA，得到sinA=

2

5

sinC，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，得：

2

2 5 sinC

=

c

sinC

，
解得：c=

5

，
由sinC=

5

3

，C为锐角，得cosC=

1-sin2C

=

2

3

，
又由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得5=4+b²-

8

3

b，即3b²-8b-3=0，
又b＞0，解得b=3，
则b=3，c=

5

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．