Question

已知函数f(x)=

3

cos2x+sinxcosx，x∈（0，π）
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）如果关于x的方程|f（x）|=m，在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的单调增区间，求出函数f（x）的单调递增区间；
（2）如果关于x的方程|f（x）|=m，在区间（0，π）上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

3

cos2x+sinxcosx
=

3 (1+cos2x)

2

+

1

2

sin2x
=

3

2

+

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=

3

2

+sin(2x+

π

3

)
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ   得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ    k∈Z
因为x∈（0，π），所以函数f（x）的单调递增区间为：（0，

π

12

]和[

7π

12

，π）．
（2）f（x）=

3

2

+sin(2x+

π

3

)画出y=|f（x）|的图象，再画出y=m的图象，
观察可知它们有两个不同的交点的情况；
可得m=0，1-

3

2

＜m＜

3

，

3

＜m＜1+

3

2

．

点评：本题考查三角函数式的化简求值，二倍角公式、两角和的正弦函数公式的应用，考查函数与方程的思想，数形结合思想，考查计算能力．