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已知函数).
(1)当时,求的图象在处的切线方程;
(2)若函数上有两个零点,求实数的取值范围;
(3)若函数的图象与轴有两个不同的交点,且,求证:(其中的导函数).

(1);(2);(3)证明见解析.

解析试题分析:解题思路:(1)利用导数的几何意义求解即可;(2)利用该区间上的极值的正负判断函数零点的个数;(3)通过构造函数求最值进行证明.规律总结:利用导数研究函数的性质是常见题型,主要是通过导数研究函数的单调性、求单调区间、求极值、最值以及不等式恒成立等问题,往往计算量较大,思维量大,要求学生有较高的逻辑推理能力.
试题解析:(1)当时,,切点坐标为
切线的斜率,则切线方程为,即.
(2),则
,故时,.当时,;当时,.
所以处取得极大值.
,则
上有两个零点,则
解得,即实数的取值范围是.
(3)因为的图象与轴交于两个不同的点
所以方程的两个根为,则两式相减得.又,则.
下证(*),即证明
因为,∴,即证明上恒成立.
所以,又,∴
所以上是增函数,则,从而知
故(*)式成立,即成立.
考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的零点.

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