已知函数().
(1)当时,求的图象在处的切线方程;
(2)若函数在上有两个零点,求实数的取值范围;
(3)若函数的图象与轴有两个不同的交点,且,求证:(其中是的导函数).
(1);(2);(3)证明见解析.
解析试题分析:解题思路:(1)利用导数的几何意义求解即可;(2)利用该区间上的极值的正负判断函数零点的个数;(3)通过构造函数求最值进行证明.规律总结:利用导数研究函数的性质是常见题型,主要是通过导数研究函数的单调性、求单调区间、求极值、最值以及不等式恒成立等问题,往往计算量较大,思维量大,要求学生有较高的逻辑推理能力.
试题解析:(1)当时,,,切点坐标为,
切线的斜率,则切线方程为,即.
(2),则,
因,故时,.当时,;当时,.
所以在处取得极大值.
又,,,则,
在上有两个零点,则
解得,即实数的取值范围是.
(3)因为的图象与轴交于两个不同的点,
所以方程的两个根为,则两式相减得.又,,则.
下证(*),即证明,,
因为,∴,即证明在上恒成立.
所以,又,∴,
所以在上是增函数,则,从而知,
故(*)式成立,即成立.
考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的零点.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
若函数f(x)在定义域R内可导,f(2+x)=f(2-x),且当x∈(-∞,2)时,(x-2)>0.设a=f(1),,c=f(4),则a,b,c的大小为 .
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数的图象为曲线E.
(1)若a = 3,b = -9,求函数f(x)的极值;
(2)若曲线E上存在点P,使曲线E在P点处的切线与x轴平行,求a,b的关系.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2-x,a∈R.
(1)当时,求函数y=f(x)的极值;
(2)是否存在实数b∈(0,1),使得当x∈(-1,b]时,函数f(x)的最大值为f(b)?若存在,求实数a的取值范围,若不存在,请说明理由.
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