已知函数.
(1)若是函数的极值点,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在上为单调增函数,求的取值范围;
(3)设为正实数,且,求证:.
(1);(2);(3)详见解析.
解析试题分析:(1)根据题意,可得,又由为极值点,故,代
入并检验即可得到,从而切线斜率,切点为,因此切线方程为;
由(1),故在上为单调增函数等价于
在上恒成立,将不等式变形为,从而问题等价于求使在上恒成立的的取值范围,而,当且仅当时,“”成立,即,因此只
需,∴,即的取值范围是;
(3)要证,只需证,
即证只需证,由(2)中所得,令,则,
由(2)知在上是单调增函数,又,因此,即成立,即有.
试题解析:(1)∵,∴
又∵是函数的极值点,∴,代入得,经检验符合题意,
从而切线斜率,切点为,∴切线方程为;
(2)由(1),
∵上为单调增函数,∴上恒成立,
即在上恒成立,将不等式变形为,即需使在
上恒成立,而,当且仅当时,“”成立,因此只需,∴,
∴的取值范围是;
由(2),令,则,由(2)知在
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已知函数().
(1)当时,求的图象在处的切线方程;
(2)若函数在上有两个零点,求实数的取值范围;
(3)若函数的图象与轴有两个不同的交点,且,求证:(其中是的导函数).
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已知函数f(x)=ex,a,bR,且a>0.
⑴若a=2,b=1,求函数f(x)的极值;
⑵设g(x)=a(x-1)ex-f(x).
①当a=1时,对任意x (0,+∞),都有g(x)≥1成立,求b的最大值;
②设g′(x)为g(x)的导函数.若存在x>1,使g(x)+g′(x)=0成立,求的取值范围.
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已知函数:f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1
(1)y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式;
(2)函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求b的取值范围.
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已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx(b,c∈R),函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,函数f(x)满足.
(1)求f(x)的解析式;
(2)讨论f(x)在区间(-3,3)上的单调性.
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