Question

已知在与处都取得极值.
（1）求，的值；
（2）设函数，若对任意的，总存在，使得、，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

解析试题分析：（1）根据条件，可得，由在与处都取得极值，可知，故可建立关于的二元一次方程组，从而解得，此时，需要代回检验是否确实是的极值点，经检验符合题意，从而；（2）由（1）可得由（1）知：函数在上递减，
∴ ，因此问题就等价于求使当时，恒成立的的取值范围，而二次函数图像的对称轴是，因此需对的取值作出以下三种情况的分类讨论：①：；②：；③，分别用含的代数式表示上述三种情况下的最小值表示出来，从而可以建立关于的不等式，进而求得的取值范围为.
试题解析：（1）∵，∴.         1分
∵在与处都取得极值，
∴，∴          4分
经检验，当时，，
∴函数在与处都取得极值，∴         6分；
（2）由（1）知：函数在上递减，
∴            8分，
又 ∵函数图象的对称轴是，
①：当时：，显然有成立， ∴ .
②：当时：，∴， 解得：，
又∵ ，∴.
③：当时：，∴ ， ∴， 又，∴
综上所述：           12分，
∴实数的取值范围为         13分.
考点：1.导数的运用；2.二次函数与恒成立问题.