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已知函数,.
(1)求函数的极值;(2)若恒成立,求实数的值;
(3)设有两个极值点(),求实数的取值范围,并证明.

(1);(2);(3) 见解析。

解析试题分析:(1)先求的定义域,然后对求导,令寻找极值点,从而求出
极值;(2)构造函数,又,则只需恒成立,再证处取到最小值即可;(3)有两个极值点等价于方程上有两个不等的正根,由此可得的取值范围,,由根与系数可知范围为,代入上式得,利用导函数求的最小值即可。
试题解析:(1)的定义域是.
,故当x=1时,G(x)的极小值为0.
(2)令,则
所以,即恒成立的必要条件是
,由得:
时,由
,即恒成立.
(3)由,得
有两个极值点等价于方程上有两个不等的正根,
即:, 解得
,得,其中.
所以
,得
所以,即.        
考点:(1)利用导求函数的极值、最值;(2)一元二方程根的分布;(3)构造函数解决与不等式有关问题。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知,函数为自然对数的底数).
(Ⅰ)若,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若的最小值为,求的最小值.

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已知函数 (R).
(1)当时,求函数的极值;
(2)若函数的图象与轴有且只有一个交点,求的取值范围.

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已知是函数的一个极值点,其中
(1)的关系式;
(2)求的单调区间;
(3)当时,函数的图象上任意一点处的切线的斜率恒大于,求的取值范围.

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已知二次函数满足:①在时有极值;②图像过点,且在该点处的切线与直线平行.
(1)求的解析式;
(2)求函数的单调递增区间.

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已知函数
(1)若是函数的极值点,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数上为单调增函数,求的取值范围;
(3)设为正实数,且,求证:

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已知函数处取得极值,求函数以及的极大值和极小值.

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已知函数).
(1)求函数的单调区间;
(2)请问,是否存在实数使上恒成立?若存在,请求实数的值;若不存在,请说明理由.

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(本小题满分14分)
已知函数为常数)的图像与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为.
(1)求的值及函数的极值;
(2)证明:当时,
(3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当时,恒有

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