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已知函数:f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1
(1)y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式;
(2)函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求b的取值范围.

(1) f(x)=x3+2x2-4x+5; (2) b≥0

解析试题分析:(1)先由函数导数的几何意义用含a,b,c的代数式表达出函数在点P处的切线方程,再与已知的切线相比较可得关于a,b,c的两个方程;另又因为y=f(x)在x=-2时有极值,所以f′(-2)=0再得到一个关于a,b,c的方程,三个字母三个方程,通过解方程组就可求得字母a,b,c的值,从而求得f(x)的表达式; (2) 由函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,知其导函数f′(x)在[-2,1]上恒有f′(x)≥0,注意到(1)中的①式:2a+b=0,所以有,从而有3x2-bx+b≥0在[-2,1]上恒成立,分离参数转化为函数的最值问题,可求得b的取值范围.
试题解析:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,求导数得f′(x)=3x2+2ax+b,
过y=f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为:y-f(1)=f′(1)(x-1),
即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1)
而过y=f(x)上P(1,f(1))的切线方程为:y=3x+1

又∵y=f(x)在x=-2时有极值,故f′(-2)=0 ∴-4a+b=-12③
由①②③相联立解得a=2,b=-4,c=5,所以f(x)=x3+2x2-4x+5
(2)y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增
又f′(x)=3x2+2ax+b,由(1)知2a+b=0
∴f′(x)=3x2-bx+b
依题意f′(x)在[-2,1]上恒有f′(x)≥0,即3x2-bx+b≥0在[-2,1]上恒成立
注意到,所以3x2-bx+b≥0在[-2,1]上恒成立等价于:,令知当,当,所以在[-2,1)上有最大值为,故知,且当x=1时f′(x)≥0也成立,所以
考点:1.导数的几何意义;2.函数的极值与最值.

练习册系列答案
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(1)求
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