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    【题目】已知双曲线的离心率为2，过点、斜率为1的直线与双曲线交于、两点且，.

    （1）求双曲线方程。

    （2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

    【答案】（1）；（2）见解析

    【解析】

    （1）由双曲线离心率为2知，.

    于是，双曲线方程可化为.

    又直线，与双曲线方程联立得

    ①

    设点，.则

    ，. ②

    因为，所以，

    .故.

    结合，解得，.

    代入式②得

    又

    ，

    从而，.

    此时，，代入式①并整理得

    .

    显然，该方程有两个不同的实根.

    因此，符合要求.故双曲线的方程为

    （2）假设点存在.由（1）知双曲线右焦点为.

    设为双曲线右支上一点.

    当时，，.

    因为，所以，.

    将代入上式并整理得

    .

    当时，，而时，，符合.

    所以，满足条件的点存在.

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    一次性购物

    1至4件

    5至8件

    9至12件

    13至16件

    17件及以上

    顾客数（人）

    30

    25

    10

    结算时间（分/人）

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    （1）求，的值；

    （2）求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率（频率代替概率）.

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