Question

7．已知正方方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
（1）异面直线BA₁和CB₁ 的夹角是多少？
（2）A₁B和平面CDA₁B₁所成的角？
（3）平面CDA₁B₁和平面ABCD所成二面角的大小？
（此题写出必要的步骤或说明，画出必要的辅助线）

Answer 1

分析 （1）连结A₁D，BD，由A₁D∥B₁C，得∠BA₁D是异面直线BA₁和CB₁ 的夹角，由此能求出异面直线BA₁和CB₁ 的夹角．
 （2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A₁B和平面CDA₁B₁所成的角．
（3）求出平面CDA₁B₁和的法向量和平面ABCD的法向量，利用向量法能求出平面CDA₁B₁和平面ABCD所成二面角的大小．

解答 解：（1）连结A₁D，BD，∵A₁D∥B₁C，
∴∠BA₁D是异面直线BA₁和CB₁ 的夹角，
∵A₁D=A₁B=AB，
∴∠BA₁D=60°．
∴异面直线BA₁和CB₁ 的夹角是60°．
 （2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，
则A₁（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
设平面CDA₁B₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，x），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
设A₁B和平面CDA₁B₁所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=30°．
∴A₁B和平面CDA₁B₁所成的角为30°．
（3）平面CDA₁B₁和的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面CDA₁B₁和平面ABCD所成二面角的大小为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴α=45°．
∴平面CDA₁B₁和平面ABCD所成二面角的大小为45°．

点评 本题考查线线角、线面角、面面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．