【题目】如图,在三棱锥PABC中,底面ABC,,,,D,E分别是AC,PC的中点,F是PB上一点,且,M为PA的中点,二面角的大小为45°.
(1)证明:平面AEF;
(2)求直线AF与平面BCM所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)连接PD交AE于点O,因为D,E分别是AC,PC的中点,则点O是的重心,所以,连接OF,又,所以,从而可证明结论.
(2)由题意可证得即二面角的平面角,即,可得,则,得到,又由题意易知,CA,CB,CP两两垂直,故以C为坐标原点,直线CA,CB,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,用向量法求解线面角.
解:(1)连接PD交AE于点O,因为D,E分别是AC,PC的中点,
所以点O是的重心,所以.
连接OF,又,所以,则.
又平面AEF,平面AEF,所以平面AEF.
(2)因为底面ABC,平面ABC,所以.又,,
所以平面PAC.所以,又,所以即二面角的平面角,
所以,连接MD,易得,则,所以.
由题意易知,CA,CB,CP两两垂直,故以C为坐标原点,直线CA,CB,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,
所以,,.
设平面BCM的法向量为,则,得,得,
令,则,所以为平面BCM的一个法向量.
设直线AF与平面BCM所成的角为.
则
故直线AF与平面BCM所成角的正弦值为.
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【题目】若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.设函数.
(1)若函数在上无极值点,求的取值范围;
(2)求证:对任意实数,在函数的图象上总存在两条切线相互平行;
(3)当时,若函数的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4,问;这样的平行切线共有几组?请说明理由.
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【题目】单位正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示,动点,,其中,,设由,,三点确定的平面截该正方体的截面为,那么( )
A.对任意点,存在点使截面为三角形
B.对任意点,存在点使截面为正方形
C.对任意点和,截面都为梯形
D.对任意点,存在点使得截面为矩形
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【题目】某校名学生参加军事冬令营活动,活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏,角色按级别从小到大共种,分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式,可以人一组或者人一组.如果人一组,则必须角色相同;如果人一组,则人角色相同或者人为级别连续的个不同角色.已知这名学生扮演的角色有名士兵和名司令,其余角色各人,现在新加入名学生,将这名学生分成组进行游戏,则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.
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【题目】某市数学教研室对全市2018级15000名的高中生的学业水平考试的数学成绩进行调研,随机选取了200名高中生的学业水平考试的数学成绩作为样本进行分析,将结果列成频率分布表如下:
数学成绩 | 频数 | 频率 |
5 | 0.025 | |
15 | 0.075 | |
50 | 0.25 | |
70 | 0.35 | |
45 | 0.225 | |
15 | 0.075 | |
合计 | 200 | 1 |
根据学业水平考试的数学成绩将成绩分为“优秀”、“合格”、“不合格”三个等级,其中成绩大于或等于80分的为“优秀”,成绩小于60分的为“不合格”,其余的成绩为“合格”.
(1)根据频率分布表中的数据,估计全市学业水平考试的数学成绩的众数、中位数(精确到0.1);
(2)市数学教研员从样本中又随机选取了名高中生的学业水平考试的数学成绩,如果这
(3)估计全市2018级高中生学业水平考试“不合格”的人数.
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【题目】某工厂质检部门要对该厂流水线生产出的一批产品进行检验,如果检查到第件仍未发现不合格品,则此次检查通过且认为这批产品合格,如果在尚未抽到第件时已检查到不合格品则拒绝通过且认为这批产品不合格.设这批产品的数量足够大,可以认为每次检查查到不合格品的概率都为,即每次抽查的产品是相互独立的.
(1)若,求这批产品能够通过检查的概率;
(2)已知每件产品质检费用为50元,若,设对这批产品的质检个数记作,求的分布列;
(3)在(2)的条件下,已知1000批此类产品,若,则总平均检查费用至少需要多少元?(总平均检查费用每批次平均检查费用批数)
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【题目】如图,某十字路口的花圃中央有一个底面半径为的圆柱形花柱,四周斑马线的内侧连线构成边长为的正方形.因工程需要,测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量,其中仪器的移动速度为,仪器的移动速度为.若仪器与仪器的对视光线被花柱阻挡,则称仪器在仪器的“盲区”中.
(1)如图,斑马线的内侧连线构成正方形,仪器在点处,仪器在上距离点处,试判断仪器是否在仪器的“盲区”中,并说明理由;
(2)如图,斑马线的内侧连线构成正方形,仪器从点出发向点移动,同时仪器从点出发向点移动,在这个移动过程中,仪器在仪器的“盲区”中的时长为多少?
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【题目】如图,正方形、的边长都是1,而且平面、互相垂直.点M在上移动,点N在上移动,若().
(1)当a为何值时,的长最小;
(2)当长最小时,求面与面所成的二面角α的余弦值.
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