Question

【题目】如图，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为的正方形.因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器的移动速度为，仪器的移动速度为.若仪器与仪器的对视光线被花柱阻挡，则称仪器在仪器的“盲区”中.

（1）如图，斑马线的内侧连线构成正方形，仪器在点处，仪器在上距离点处，试判断仪器是否在仪器的“盲区”中，并说明理由；

（2）如图，斑马线的内侧连线构成正方形，仪器从点出发向点移动，同时仪器从点出发向点移动，在这个移动过程中，仪器在仪器的“盲区”中的时长为多少？

Answer 1

【答案】（1）是，理由见解析；（2）.

【解析】

（1）建立平面直角坐标系，求得点、的坐标，进而可得出直线的方程，求出原点到直线的距离，判断直线与花柱所在圆的位置关系，由此可得出结论；

（2）建立平面直角坐标系，求出、、、的坐标，假设仪器在仪器的“盲区”中的时长为，用表示点、的坐标，并求出直线的方程，利用圆心到直线的距离可得出关于的不等式，求出的取值范围，由此可得出结果.

（1）建立如图所示的平面直角坐标系，则，，所以，

所以直线的方程是，即，

故圆心到直线的距离，

所以圆与直线相交，故仪器在仪器的“盲区”中；

（2）建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，.

依题意知起始时刻仪器在仪器的“盲区”中.

假设仪器在仪器的“盲区”中的时长为，则，，

所以直线的斜率，

故直线的方程是，即，

从而点到直线的距离，

整理得，解得，结合时间，得.

答：仪器在仪器的“盲区”中的时长为.