Question

【题目】已知函数.

（1）若是单调递增函数，求实数a的取值范围；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求出函数的导数，问题转化为，根据函数的单调性求出的范围即可；

（2）令（），问题等价于.求导数，判断的单调性，求最值即可.

（1）定义域，，

因为是单调递增函数，故对恒成立，

即对恒成立.

记，则，

由，令得，

当时，，当时，，

故在单调递减，在单调递增，

所以，

从而.

（2）令（），问题等价于.

由，，

∴函数在上是增函数，

容易证明时，，，

则，

由得，（舍负）

从而取，；

另外，容易证明，取正数x满足

从而取c满足，有.

（注：这里也可以这样处理：当时，，，

故；

当时，，，）

所以存在唯一的，使得，当时，；

当时，；

从而在区间上递减，在上递增，

，

由，得：，

∴，

∴，即.

设，则为增函数，

，，则有唯一零点，设为t，

则，则，即，

令，则单调递增，且，

则，即，

∵在为增函数，

则当时，a有最大值，，

∴，即a的取值范围是.