【题目】已知函数(
).
(Ⅰ)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求
的值与曲线在点
处的切线方程;
(Ⅱ)若,且当
时,
恒成立,求
的最大值.(
)
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导,利用导数的几何意义和两直线垂直的判定求出值,进而利用点斜式方程进行求解;(Ⅱ)分离参数,合理构造函数,将问题转化为求函数的最值问题,再利用导数研究函数的单调性和最值.
试题解析:(Ⅰ)因为,所以
,
.
又曲线在点
处的切线与直线
垂直,故
,解得
,
所以,
.
所以曲线在点
处的切线方程为
,即
.
(Ⅱ)当时,
恒成立等价于
恒成立,等价于当
时,
恒成立.
设(
),则
,记
,
则,所以
在
上单调递增.
又,
,
所以在
上存在唯一的实数根
,使得
,①
因此当时,
,即
,则
在
上单调递减;
当时,
,即
,则
在
上单调递增.
所以当时,
,由①可得
,
所以.
因为,
,又
,
,
所以,因此
,
又,所以
.
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【题目】已知点,动点
,
分别在
轴,
轴上运动,
,
为平面上一点,
,过点
作
平行于
轴交
的延长线于点
.
(Ⅰ)求点的轨迹曲线
的方程;
(Ⅱ)过点作
轴的垂线
,平行于
轴的两条直线
,
分别交曲线
于
,
两点(直线
不过
),交
于
,
两点.若线段
中点的轨迹方程为
,求
与
的面积之比.
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【题目】已知函数f(x)=4cosωxsin(ωx+ )(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)讨论f(x)在区间[0, ]上的单调性;
(3)当x∈[0, ]时,关于x的方程f(x)=a 恰有两个不同的解,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=2sinx(sinx+ cosx)﹣1(其中x∈R),求:
(1)函数f(x)的最小正周期;
(2)函数f(x)的单调减区间;
(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.
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【题目】在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中,甲、乙两班各有6名选手参赛,在第一轮笔试环节中,评委将他们的笔试成绩作为样本数据,绘制成如图所示的茎叶图,为了增加结果的神秘感,主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩,只是告诉大家,如果某位选手的成绩高于90分(不含90分),则直接“晋级”.
(1)求乙班总分超过甲班的概率;
(2)主持人最后宣布:甲班第六位选手的得分是90分,乙班第六位选手的得分是97分.若主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个,记抽取到“晋级”选手的总人数为,求
的分布列及数学期望.
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【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
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