【题目】已知函数,的导函数为.
(1)当时,证明:函数在上单调递增;
(2)若,讨论函数零点的个数.
【答案】(1)证明见解析;(2)答案不唯一,具体见解析
【解析】
(1)求出导函数,然后令,再求出导函数,由的正负确定的单调性,得的最小值.从而得,即,确定出的单调性;
(2)解方程,变形为,,最终转化为,这样利用导数研究函数的性质,得,分离参数得,此方程解的个数即为函数零点的个数,再由导数研究函数的性质后可得.
(1)证明:当时,,∴,
令,则,
当时,单调递减;当时,单调递增.
∴,∴当时,
∴在上单调递增.
(2)解:,
令,则,
∴,∴,∴,
令,则,
∵当时,∴当时为增函数,
∴,∴,
令,则,
当时,递减,当时,递增,∴,
∴当时无解,即无零点;
当时有1个解,即有1个零点;
当时有2个解,即有2个零点.
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【题目】已知抛物线C:,过点且互相垂直的两条动直线,与抛物线C分别交于P,Q和M,N.
(1)求四边形面积的取值范围;
(2)记线段和的中点分别为E,F,求证:直线恒过定点.
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【题目】四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且,侧面PAD是正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD,点G为AD的中点.
(1)求证:BG面PAD;
(2)E是BC的中点,在PC上求一点F,使得PG面DEF.
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【题目】某校名学生参加军事冬令营活动,活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏,角色按级别从小到大共种,分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式,可以人一组或者人一组.如果人一组,则必须角色相同;如果人一组,则人角色相同或者人为级别连续的个不同角色.已知这名学生扮演的角色有名士兵和名司令,其余角色各人,现在新加入名学生,将这名学生分成组进行游戏,则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为(为参数).以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)若过点的直线与交于,两点,与交于,两点,求的取值范围.
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【题目】如图,在三棱锥PABC中,底面ABC,,,,D,E分别是AC,PC的中点,F是PB上一点,且,M为PA的中点,二面角的大小为45°.
(1)证明:平面AEF;
(2)求直线AF与平面BCM所成角的正弦值.
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【题目】已知椭圆C:()的离心率为,且过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过坐标原点的直线与椭圆交于M,N两点,过点M作圆的一条切线,交椭圆于另一点P,连接,证明:.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,
(Ⅰ)证明;AC⊥BP;
(Ⅱ)求直线AD与平面APC所成角的正弦值.
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