Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的极值；

（2）设，若曲线在两个不同的点，处的切线互相平行，求证：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；

【解析】

（1）求出，分类讨论或，判断的正负即可求解.

（2）根据题意可得，代入导函数整理可得，利用基本不等式证出，从而，令，不妨设，利用导数判断的单调性，求出最小值即可证出.

解：（1），.

（i）当时，，则在上是减函数，

此时无极值.

（ii）当时，考虑二次函数，则.

当时，，则，

即对任意的恒成立，所以在上是增函数，

此时无极值.

当时，，

则的两根为，.

当时，；当时，；

当时，，所以在上是增函数，

在上是减函数，在上是增函数，

所以在处有极大值，在处有极小值.

（2）由题意，得，，，，

且.

移项整理，得.

因为，，，

所以，即.

.

令，则.

设，

则.

当时，；当时，，

所以在上是减函数，在上是增函数，

所以是的极小值点，也是的最小值点，

即，

故成立.