Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，为中点，点在上且平面，在延长线上，，交于，且

(1)证明：平面；

(2)设点在线段上，若二面角为，求的长度．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；(2)．

【解析】

(1) 要证平面，只需证明平行于平面内一条直线即可，取的中点，连结，，可证四边形为平行四边形，从而可得，根据线面平行的判定定理即可证出；

(2) 取的中点，连结，可证平面，以为原点，为轴，为轴建系，设，求出平面的法向量及平面的法向量，根据二面角为，利用夹角公式列出方程即可求出,进而可求出的长度．

(1)证明：取的中点，连结，，则，且，

因为，交于，且，

又因为，所以，，

所以四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面.

(2)由平面，平面，

所以，又，和在平面内显然相交，

所以平面，又平面，

所以平面平面，

取的中点，连结，因为，所以，

又平面平面，平面，所以平面，

在等腰中，，

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则，，，，

因为为的中点，所以，

设，设平面的一个法向量，

，，

由，得，令，得，，

所以，

设平面的一个法向量，

所以，

因为二面角为，所以，

即，解得，

所以.