【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,,
(Ⅰ)证明;AC⊥BP;
(Ⅱ)求直线AD与平面APC所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ).
【解析】
(I)取的中点,连接,通过证明平面得出;
(II)以为原点建立坐标系,求出平面的法向量,通过计算与的夹角得出与平面所成角.
(I)证明:取AC的中点M,连接PM,BM,
∵AB=BC,PA=PC,
∴AC⊥BM,AC⊥PM,又BM∩PM=M,
∴AC⊥平面PBM,
∵BP平面PBM,
∴AC⊥BP.
(II)解:∵底面ABCD是梯形.BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,
∴∠ABC=120°,
∵AB=BC=1,∴AC,BM,∴AC⊥CD,
又AC⊥BM,∴BM∥CD.
∵PA=PC,CM,∴PM,
∵PB,∴cos∠BMP,∴∠span>PMB=120°,
以M为原点,以MB,MC的方向为x轴,y轴的正方向,
以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M﹣xyz,如图所示:
则A(0,,0),C(0,,0),P(,0,),D(﹣1,,0),
∴(﹣1,,0),(0,,0),(,,),
设平面ACP的法向量为(x,y,z),则,即,
令x得(,0,1),
∴cos,,
∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos,|.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设、、是三条不同的直线,、、是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,,,,,则;
②若,,则;
③若,是两条异面直线,,,,且,则;
④若,,,,,则.
其中正确命题的序号是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】己知椭圆的离心率为,分别是椭圈的左、右焦点,椭圆的焦点到双曲线渐近线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于两点,以线段为直径的圆经过点,且原点到直线的距离为,求直线的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,已知是曲线:上的动点,将绕点顺时针旋转得到,设点的轨迹为曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线,的极坐标方程;
(2)在极坐标系中,点,射线与曲线,分别相交于异于极点的两点,求的面积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆过点.其左、右两个焦点分别为、,短轴的一个端点为,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线:与椭圆交于不同的两点,,且为坐标原点.若,求的面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若,,求的值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com