Question

【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）-10

【解析】

（Ⅰ）设椭圆C的方程为，根据它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，得到，又，由此求出椭圆C的标准方程.

（Ⅱ）设，，，直线l的方程为，代入方程，得，由此利用韦达定理结合已知条件能求出的值.

（Ⅰ）设椭圆C的方程为，

抛物线方程化为，其焦点为

则椭圆C的一个顶点为，即，

由，解得，

∴椭圆C的标准方程为

（Ⅱ）证明：∵椭圆C的方程为，

∴椭圆C的右焦点

设，，，由题意知直线l的斜率存在，

设直线l的方程为，代入方程，

并整理，得，

∴，，

又，，，，

而，，

即，，

∴，，

∴.