Question

【题目】已知函数，为函数的导函数.

（1）若函数的最小值为0，求实数的值；

（2）若，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）令，当时根据导数判断函数单调递增不符合题意，当时利用导数判断函数单调性从而求出最小值，根据最小值为0列出方程求解即可；（2）不等式化简为，则对任意恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，根据不等式恒成立的条件即可求得a的值.

（1），

所以，，

①当时，，所以在上单调递增，不合题意；

②当时，时，，时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

，令，则，

因为时，时，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以，所以由知，解得，

即实数的值为.

（2）因为，恒成立，所以，

即对任意恒成立，

令，则，

由（1）知，，当且仅当时，等号成立，

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，

所以 ，所以，即.

所以实数的取值范围为.