Question

【题目】己知椭圆的离心率为，分别是椭圈的左、右焦点，椭圆的焦点到双曲线渐近线的距离为.

(1)求椭圆的方程；

(2)直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆经过点，且原点到直线的距离为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）利用焦点到双曲线渐近线距离为可求得；根据离心率可求得；由求得后即可得到所求方程；（2）由原点到直线距离可得；将直线方程与椭圆方程联立，整理得到韦达定理的形式；根据圆的性质可知，由向量坐标运算可整理得，从而构造出方程组，结合求得结果.

（1）由题意知，，

双曲线方程知，其渐近线方程为：

焦点到双曲线渐近线距离：，解得：

由椭圆离心率得：

椭圆的方程为：

（2）原点到直线距离为：，整理得：

设，

由得：

则，即：

，

以为直径的圆过点

又 ，

即：

由且得：，满足

直线方程为：