【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知圆
，圆心
，点E在直线
上，点P满足
，
，点P的轨迹为曲线M．
（1）求曲线M的方程．
（2）过点N的直线l分别交M于点A、B，交圆N于点C、D（自上而下），若
、
、
成等差数列，求直线l的方程．
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】
（1）设
，由
，得
，代入
化简得：，所以点P的轨迹曲线M的方程为：；
（2）由
、
、
成等差数列，得弦长
，对直线l的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，
，不符合题意；当斜率存在时，设
，
，直线l的方程为：
，联立，利用韦达定理可求得k的值，从而得到直线l的方程．
（1）设，由，得，
则
，
，
，
，
由，得
，即
，
化简得：，所以点P的轨迹曲线M的方程为：；
（2）由、、成等差数列，得
，
所以弦长，
①当斜率不存在时，直线l的方程为：
，
交点
，
，此时，不符合题意；
②当斜率存在时，设直线l的方程为：，，，
联立方程
，消去y得：
，
∴
，
，
显然
恒成立，
由抛物线的定义可知，
，
∴
，解得：
，∴直线l的方程为．
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【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：
（
为参数，已知直线
，直线
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线C以及直线
，
的极坐标方程；
（2）若直线与曲线C分别交于O、A两点，直线与曲线C分别交于O、B两点，求
的面积．
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【题目】己知椭圆
的离心率为
，
分别是椭圈
的左、右焦点，椭圆的焦点
到双曲线
渐近线的距离为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线
与椭圆交于
两点，以线段
为直径的圆经过点
，且原点
到直线
的距离为
，求直线的方程.
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【题目】某科研单位到某大学的光电信息科学工程专业招聘暑期实习生，该专业一班30名同学全部报名，该科研单位对每个学生的测试是光电实验，这30名学生测试成绩的茎叶图如图所示.
（1）求男同学测试成绩的平均数及中位数；
（2）从80分以上的女同学中任意选取3人，求恰有2人成绩位于
的概率；
（3）若80分及其以上定为优秀，80分以下定为合格，作出该班男女同学成绩“优秀”、“合格”的
列联表，并判断是否有90%的把握认为该次测试是否优秀与性别有关？
附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.01 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
.
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【题目】在平面直角坐标系
中，已知
是曲线
：
上的动点，将
绕点
顺时针旋转
得到
，设点
的轨迹为曲线
.以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，点
，射线
与曲线，分别相交于异于极点的
两点，求
的面积.
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【题目】已知椭圆
过点
．其左、右两个焦点分别为
、
，短轴的一个端点为
，且
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线
：
与椭圆交于不同的两点
，
，且
为坐标原点．若
，求
的面积的最大值．
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